Фамилия Бездан — редкий случай, когда отрицание вросло в основу. Приставка без- и корень -дан- сразу указывают на прозвище: «тот, кому ничего не дано», «неодарённый». В крестьянской среде так могли назвать бедняка, неудачника или человека, которого обошли при наделе земли. Но есть и другая, менее очевидная версия: в южнорусских и украинских говорах слово «бездан» фиксировалось как «не платящий дани, подати» — то есть свободный от оброка крестьянин или казак, не приписанный к помещику. Тогда прозвище несло не унизительный, а, наоборот, вольный смысл.

Суффикс в фамилии нулевой — это типичная модель для прозвищ, перешедших в фамилии без изменений (ср. Безродный, Безруков, но Бездан — без суффикса). Обычно такие фамилии закреплялись в южных и западных регионах России, а также на Украине, где была сильна традиция прозвищной номинации. В переписных книгах XVII–XVIII веков фамилия не встречается массово, что подтверждает её локальный характер: скорее всего, она возникла в одном-двух сёлах и осталась редкой.

Спор о значении решается в пользу второй версии — «не платящий дань». Дело в том, что для обозначения бедняка в русских говорах чаще использовали слова «бедный», «голый», «бездомный». А «бездан» в документах XVI–XVII веков действительно встречается как термин: «безданные люди» — то есть освобождённые от налогов (чаще всего за службу или по особой грамоте). Прозвище могло закрепиться за предком, который получил такую льготу, или за тем, кто уклонялся от податей.

Однокоренные фамилии — Безданов, Безданный — встречаются чаще, чем исходная форма Бездан. Если ваша фамилия именно в нулевом варианте, это указывает на очень старую, возможно, ещё допетровскую фиксацию прозвища, когда фамилии только начинали закрепляться. Географически корни стоит искать в Черниговской, Полтавской или Курской губерниях.

Известных носителей фамилии нет в публичном поле — это типично для редких прозвищных фамилий, не попавших в дворянские родословные книги.