Фамилия Бездробко — редкая и выразительная, с прозрачной, но неочевидной внутренней формой. Если вы её носитель, ваш предок почти наверняка получил прозвище, которое строится по модели «без + корень + суффикс». Основа здесь — «дробь» или «дробление». В украинской и южнорусской традиции «дробить» означало не только разбивать, но и менять крупные деньги на мелкие, а также вести мелочную, кропотливую работу. Человек, которого прозвали Бездробко, мог быть тем, кто «не дробит» — то есть не разменивается по мелочам, действует решительно и цельно. Впрочем, есть и другая версия: прозвище могло закрепиться за тем, кто не имел «дроби» в смысле мелкого скота или птицы (в диалектах «дробь» — домашняя живность). Тогда Бездробко — бедняк, у которого нет даже курицы.

Суффикс -к-о указывает на украинское или белорусское происхождение. В этих языках фамилии на -ко (Бездробко, Безручко, Безпалько) образуются от прилагательных или глагольных форм и часто передают признак: «тот, кто без чего-то». Такая модель очень продуктивна в казацкой среде — она давала меткие, иногда ироничные прозвища. Сравните с фамилиями Безбородько, Безногий, Безверхий — все они описывали внешность, имущество или характер.

В письменных источниках фамилия встречается крайне редко. Основной ареал — Черниговская, Полтавская и Сумская области Украины, а также прилегающие районы России (Брянская, Курская области). Это объяснимо: именно здесь в XVII–XVIII веках активно формировались фамилии на -ко у казаков и крестьян. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано — скорее всего, предки Бездробко были вольными хлеборобами или ремесленниками.

Любопытная деталь: в старых метрических книгах фамилию могли записать и как Бездробка (с ударением на последний слог). Такая вариативность типична для украинских фамилий — окончание -о в русском языке часто заменяли на -а, чтобы подстроить под грамматику. Сегодняшняя форма Бездробко — результат обратного процесса, когда носители сознательно вернули украинское окончание.

Если ваш предок носил эту фамилию, он, скорее всего, был человеком прямым и не мелочным — или, напротив, настолько бедным, что это стало его прозвищем. Ономастика не даёт однозначного ответа, но обе версии укладываются в логику народного словообразования.