Фамилия Безгодько — яркий пример того, как прозвище, данное человеку, закрепилось за его потомками. В её основе лежит не имя, а характеристика, и разбираться с ней интереснее всего через слово «безгод». Это нарицательное в старых говорах означало «очень старый». Соответственно, прозвище Безгодько могли дать пожилому человеку, которого уважали (или, наоборот, подшучивали) за его почтенный возраст.

Есть и вторая, не менее правдоподобная версия. «Безгодом» называли не просто старца, а старожила — человека, который жил на одном месте так долго, что «сжился» с этой землёй, стал её неотъемлемой частью. В этом смысле прозвище могло получить не обязательно дряхлый старик, а, скажем, основатель поселения или давний переселенец, который обжился раньше других.

С точки зрения словообразования, фамилия Безгодько построена по украинской или южнорусской модели. Суффикс -к- (в форме -ьк-) здесь уменьшительно-ласкательный или, чаще в фамилиях, указывающий на принадлежность: «сын Безгодя» или «потомок Безгодька». То есть Безгодько — это буквально «маленький Безгод» или «наследник Безгода». Окончание -о типично для украинских фамилий (сравните: Шевченко, Коваленко, Тимошенко) и указывает на происхождение носителя из тех краёв.

Интересно, что фамилия эта — редкая. В отличие от распространённых «возрастных» прозвищ вроде Старик, Старцев или Дед, слово «безгод» почти вышло из живого употребления. Поэтому Безгодько — настоящая находка для этимолога: она сохранила архаичное слово, которое иначе мы бы знали только по старым словарям. Носитель этой фамилии может с уверенностью сказать, что его предок был либо глубоким стариком, прозванным за долголетие, либо первым поселенцем, «старожилом», положившим начало роду на новом месте.