Фамилия Безгодко звучит необычно для русского уха, и это не случайно. Скорее всего, её корни — на западе и юго-западе, в белорусских и украинских землях. На это указывает суффикс -ко, один из самых характерных для этих регионов. В фамилиях вроде Шевченко, Коваленко или Бондаренко этот суффикс изначально был уменьшительным или указывал на сына, то есть «малый» или «потомок». Безгодко — не исключение: это могло быть прозвище, которое потом закрепилось за детьми или внуками.

Основа фамилии — «без года». В древнерусском и диалектах слово «год» означало не только календарный период, но и время вообще, а также погоду, благоприятный срок. «Безгодный» — это человек, которому не везёт, которому нет «году», то есть удачного часа. В говорах «безгодье» — синоним ненастья, лихолетья. Так могли прозвать неудачливого крестьянина, того, кто родился в трудный час, или просто человека с тяжёлой судьбой. Вторая версия, менее вероятная, но встречающаяся в ономастике: прозвище могли дать младенцу, родившемуся «без года», то есть не ко времени — например, глубокой зимой или в неурожайный год.

Интересно, что фамилия почти не встречается в центральной России и на севере. Её география — Черниговская, Полтавская, Харьковская губернии, а также юг Беларуси. В писцовых книгах и ревизских сказках XVII–XVIII веков Безгодки фиксируются как казаки или крестьяне. Сходные по модели фамилии — Безноско, Безручко, Бездольный — тоже строятся на отрицании «без» и указывают на физический или социальный недостаток. Безгодко стоит в этом ряду, но его дефект не телесный, а временной или судьбоносный.

В современном русском языке фамилия склоняется как существительное мужского рода: Безгодко, Безгодко, Безгодку (о мужчине) и не склоняется, если принадлежит женщине. В украинском варианте ударение чаще падает на второй слог: Безгідко. Учитывая редкость фамилии, её носители, скорее всего, происходят из одного или нескольких родов, разошедшихся по разным областям в XIX–XX веках.