Фамилия Безгодков происходит от прозвища Безгодка. В основе этого прозвища лежит слово «безгод» — так в старину говорили о человеке «очень старом», буквально «без году», то есть прожившем так долго, что годы уже и не считают. Скорее всего, Безгодкой называли пожилого человека или старожила — того, кто жил на одном месте с незапамятных времен. Прозвище давали не в насмешку, а как меткую бытовую характеристику.

Модель образования фамилии проста и типична для северных и центральных областей России: суффикс -ов присоединялся к основе Безгодк-, указывая на принадлежность («чей?» — сын Безгодки). Ударение падает на второй слог: Безго́дков.

Интересно, что в русских говорах слово «безгодный» могло иметь и другой оттенок — «несчастный», «злополучный» (от «год» в значении «судьба, пора»). Однако в случае с фамилией Безгодков правдоподобнее версия о возрасте: прозвища, указывающие на долгожительство, встречаются в ономастике часто (сравните Стариков, Ветхов). Версия с «несчастным» значением менее вероятна — в таком случае ждали бы формы Безгодов или Безгодный.

Фамилия редкая, не относится к числу распространенных. Встречается в основном на Русском Севере и в Поволжье — регионах, где прозвища с корнем -год- (Год, Безгод, Годов) фиксируются в писцовых книгах XVI–XVII веков. По сословному составу предки Безгодковых, скорее всего, были крестьянами или посадскими людьми: дворянских родов с такой фамилией нет.