Фамилия Безгодков образована от прозвища Безгодка, которое восходит к нарицательному «безгод», имеющему значение «очень старый». Вероятно, таким прозвищем нарекли пожилого человека. Кроме того, Безгодкой могли прозвать старожила, старого поселенца. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Безгодка, со временем получил фамилию Безгодков.