Фамилия Безгодорв — редкий случай, когда написание почти наверняка искажено. Скорее всего, перед нами не самостоятельная фамилия, а вариант фамилии БезгоОдов или БезгОдов, где под ударением второй слог. Ошибка в букве «р» вместо «о» могла возникнуть при заполнении документов или переписи: почерк, невнятное произношение, и «Безгодов» превратилось в «Безгодорв». В пользу этой версии говорит и то, что фамилия Безгодов встречается в десятки раз чаще, а её семантика прозрачна.

Если же написание всё-таки верное, то корень здесь — «год» (в значении «время, срок»), а приставка «без-» и суффикс «-орв» образуют странную конструкцию. Суффикс «-орв» для русских фамилий нетипичен. Обычно фамилии на «-ов» образуются от основ на твёрдый согласный: Безгодов — от прозвища Безгод. А «-орв» могло возникнуть только если основа оканчивалась на «-ор» (например, Безгодор → Безгодоров). Но слова «безгодор» в русском языке нет. Поэтому единственное логичное объяснение — опечатка или диалектное искажение.

Что касается значения исходной фамилии Безгодов, то ономасты (в частности, Б. Унбегаун в «Русских фамилиях») относят её к группе «отрицательных» прозвищ. Безгод — человек, у которого «нет года», то есть нет постоянного достатка, удачи, счастливого времени. В северных говорах «безгодье» означало нужду, бедность, неурожай. Так могли прозвать крестьянина, который постоянно жил впроголодь, или же, наоборот, человека, родившегося в неурожайный год. В любом случае, прозвище было нелестным, но в фамилию перешло без оценочного оттенка — как именование по предку.

Географически фамилия Безгодов (а значит, и её искажённый вариант) тяготеет к северу и северо-востоку России: Вологодская, Архангельская, Кировская области, а также Урал. Встречается и в Сибири, куда переселенцы увозили прозвища с собой. Если вы носите фамилию именно в написании «Безгодорв», стоит проверить старые метрические книги или ревизские сказки предков — скорее всего, в XIX веке ваш предок записывался как Безгодов, а буква «р» — ошибка писаря или позднейшее искажение.