Фамилия Безимен — редкий случай, когда отрицание «без» слилось с корнем прямо в основе, а не через приставку. В русских фамилиях на -ов/-ев, -ин обычно встречаются формы Безъязыков, Безруков, Безбородов, где «без» — приставка к нарицательному слову. Здесь же перед нами, скорее всего, исходное прилагательное или прозвище «безымённый» (человек без имени), которое в диалектном произношении дало «безимен». Суффикс -ов (Безименов) был бы ожидаем, но фамилия застыла в краткой форме без патронимического окончания — такое встречается у прозвищных фамилий в южнорусских и украинских говорах (сравните: Голод, Холод, Беда). То есть Безимен — это не «чей-то сын», а прямое прозвище: «Безимен» — безымянный.

Кого так могли назвать? Самая прямая версия — подкидыша или найдёныша, которого крестили, но не знали, какое имя дать, или давали условное, а в быту он оставался «без имени». Вторая, менее драматичная — так могли прозвать человека, который не носил отчества или фамилии в эпоху, когда они уже входили в обиход: например, беглого крестьянина, бродягу или солдата, не помнящего родства. В документах XVII–XVIII веков встречаются записи «Ивашка Безымянной» — это фиксация прозвища, а не фамилии. Безимен, скорее всего, и есть такая фиксация, перешедшая в наследственное имя.

Словообразовательный нюанс: в фамилии нет суффикса принадлежности, что указывает на её позднее оформление или на то, что она сложилась в среде, где фамилии ещё не стандартизировались по великорусской модели на -ов. В украинской ономастике аналоги встречаются чаще: Безіменний, Безіменко. В русских говорах форма «безимен» могла быть кратким прилагательным: «он безимен» — то есть без имени. Географически фамилия Безимен тяготеет к югу России и Украине, встречается в старых списках Воронежской, Курской, Харьковской губерний.

Известных носителей с такой фамилией в истории почти нет — она крайне редкая. В современной России фамилия Безимен встречается единично, в основном в центральных и южных областях. Если ваш предок носил её, скорее всего, он происходил из крестьян или однодворцев, и прозвище досталось от кого-то, кто по какой-то причине не имел имени в глазах окружающих — подкидыша, бродяги или просто человека без родового прозвания.