Фамилия Безкинская — редкий случай, когда географический суффикс -ский вступает в противоречие с основой, которую проще всего прочитать как отрицание «без». На слух фамилия кажется произведённой от чего-то вроде «без кина» (то есть без кино), но на самом деле её корень лежит глубже и не связан с кинематографом. Скорее всего, перед нами типичная «географическая» фамилия, указывающая на выходца из населённого пункта с названием Безкино или Безкина. Такие топонимы встречаются в России, особенно на юге и в центральных областях, и обычно образованы от прозвища или фамилии владельца — например, Безка или Безко.

Если отталкиваться от прозвища Безка, то его могли дать человеку, который «без кого-то» — без отца, без брата, без хозяина. В крестьянской среде прозвища часто фиксировали социальный статус или семейное положение: «безотцовщина», «безземельный», «бездомный». Однако суффикс -кин (а не -ин) в основе Безкин указывает на то, что исходное прозвище могло быть Безка, а не Безко: в русском языке от имён на -а/-я образуются фамилии на -ин (Безкин — от Безка), а от имён на -о — на -ов (Безков). Таким образом, фамилия Безкинская — это не прямое производное от прозвища, а вторичное образование: сначала появилась фамилия Безкин (у человека, чей предок был Безка), а затем от названия его деревни или хутора Безкино сделали фамилию для переселенцев — Безкинский, Безкинская.

Есть и менее вероятная, но формально возможная версия: фамилия могла возникнуть как прозвищная напрямую, без топонима. В этом случае суффикс -ский указывал бы на принадлежность к какой-то группе или местности, но такой вариант встречается редко. Обычно -ский в русских фамилиях — маркер дворянского или польско-украинского происхождения, но для крестьянских фамилий он тоже возможен, особенно если человек переселялся из одной губернии в другую и получал фамилию по месту прежнего жительства.

По сословной принадлежности Безкинские, скорее всего, были крестьянами или мещанами, а не дворянами — дворянские фамилии на -ский чаще имеют более «благозвучные» основы. Встречаемость фамилии крайне низкая: в современных телефонных справочниках и базах данных она почти не фигурирует, что подтверждает её локальный характер. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать корни в небольших сёлах Центральной России или Черноземья, где могла существовать деревня Безкино.