Фамилия Билеуш — это, скорее всего, фонетический вариант более распространённой фамилии Белеуш. На слух разница почти незаметна, но на письме закрепилось «и» вместо «е». Такая замена могла произойти под влиянием акающих говоров, где в безударном положении звуки путаются, или просто из-за того, как записали фамилию в документах.

Само прозвище Белеуш образовано от общеславянского прилагательного «белый». Самый прямой смысл — внешность: светлые волосы, бледная кожа или глаза. Но в русских говорах у слова «белый» есть и другие значения. Например, «белыми» называли слободы, жители которых не платили подати государству — жили вольготно. Если предок происходил из такой слободы, прозвище могло указывать на его социальный статус.

Есть и менее очевидные версии. Одна из них ведёт к татарскому корню «билеу» — «пеленать, повивать ребёнка». По этой логике, родоначальника могли прозвать Белеушем за то, что у него была большая семья и он часто пеленал детей. Версия спорная, но имеет право на существование, учитывая, что фамилия бытует в регионах с тюркским влиянием.

Другая гипотеза — от литовского слова bilyau, которое означало льготную грамоту или патент на торговлю и ремесло. Если это так, то прозвище мог получить купец или мастеровой, имевший официальное разрешение на свой промысел. Из всех альтернатив эта выглядит наименее вероятной для русской фамилии, но полностью исключать её нельзя — контакты с балтскими языками в истории были.

Как бы то ни было, прозвище Белеуш закрепилось за человеком, а его потомки со временем стали писаться Билеуш.