Фамилия Билевщук — редкий случай, когда географическое происхождение почти не оставляет сомнений, а вот корень слова требует разбора. Суффикс -щук (в украинском произношении — -щук, в белорусском -чук) указывает на западноукраинские или юго-западные белорусские земли. В этих регионах так образовывали фамилии от имени или прозвища отца: Билевщук — это буквально «сын Билевца» или «сын Билева». Формант -ук/-юк и его вариант -щук особенно характерны для Волыни, Полесья и Подолья.

Основа фамилии — Билев- — может восходить к нескольким источникам. Первый и самый очевидный: прозвище Билей или Биль от глагола «бить». В старину так могли назвать драчливого человека, бойца, либо, напротив, того, кого часто били. В украинских говорах есть слово «бій» (бой), и «Білей» могло быть насмешливым прозвищем. Второй вариант: основа связана с прилагательным «білий» (белый). Если бы фамилия писалась через «і» (Білівщук), мы бы говорили о потомке человека по прозвищу Белый (светловолосый, бледный, либо чистый, добрый). Однако написание через «е» (Билевщук) склоняет к версии с глаголом «бить» — в русской и украинской передаче «бить» и «билец» дают именно «е», а не «і».

Третий, менее вероятный путь — через топоним. На Украине есть село Билів (Хмельницкая область), а также несколько хуторов с похожими названиями. Выходец из такого села мог получить прозвище Билівець, а его сын — стать Билівщуком. Но это скорее исключение: фамилии на -щук в массе своей патронимические, а не топонимические.

Фамилия очень редкая. В современных базах данных встречаются единичные носители, преимущественно на западе Украины (Тернопольская, Хмельницкая области) и в смежных районах Беларуси. Социальный состав предков — скорее всего, крестьяне или мещане: в шляхетской среде такие «простые» суффиксы не приживались. Сословных перегородок фамилия не пересекала.

Интересная деталь: в русском языке фамилия часто искажается при записи — можно встретить варианты «Билявщук», «Билювщук» или «Билевчук». Последний, кстати, более логичен для украинской фонетики (чередование -ец/-чук), но закрепился именно вариант с «щ», что выдает влияние русской или польской письменной традиции. Если вы ищете своих — стоит проверить оба написания.