Фамилия Бирицкая — женская форма, а мужская, соответственно, Бирицкий. Это сразу указывает на способ образования: перед нами типичная «географическая» фамилия, которую давали по названию места, откуда человек был родом. Суффикс -цк-/-ск- в русских фамилиях почти всегда работает как указатель на связь с топонимом.

Корень здесь — «Бириц-». Самая вероятная основа — название населённого пункта вроде Бирица, Бирицы или Бирицк. Такие названия встречаются в западнорусских и белорусских землях, где были распространены «географические» фамилии на -ский. Например, в исторических документах упоминается село Бирицы (или Биричи) на территории бывшего Великого княжества Литовского. Если предок носителя фамилии был оттуда, его могли записать как «Бирицкий» — то есть «тот, кто из Бириц».

Есть и другая, менее вероятная версия. В некоторых говорах «бирич» или «бирюч» означало глашатая, вестника. Это древнерусское слово, встречающееся в летописях. Однако от него скорее образовалась бы фамилия Биричев или Бирич, а не Бирицкий. Суффикс -иц- в корне может быть искажением или диалектным вариантом, но связь с прозвищем «бирюч» остаётся под вопросом. Правдоподобнее всё же первая, топонимическая версия.

Фамилия Бирицкая — редкая. Она не входит в сотни самых распространённых русских фамилий и не имеет громких исторических носителей, о которых можно было бы написать с уверенностью. Это типичная «дворянская» по форме фамилия (на -ский), но по факту её мог получить и крестьянин, переехавший в другой уезд и записанный по месту прежнего жительства. В XIX веке такие фамилии нередко давали семинаристам — их «переиначивали» из простых фамилий в более благозвучные, польские или малороссийские по образцу.

Так что, скорее всего, ваши предки были выходцами из небольшого села или местечка с корнем «Бириц-», жившими на западе или юго-западе современной России или в Беларуси.