Фамилия Бириг — редкий случай, когда основу стоит искать не в славянских корнях, а в тюркских языках. Скорее всего, она восходит к киргизскому глаголу «биригиш», что значит «соединяться, объединяться». Такое прозвище мог получить человек, вокруг которого сплачивались люди: либо отец большого семейства, собравший под своей властью много детей и родни, либо общественный активист, умевший объединять односельчан. В обоих случаях прозвище носило уважительный оттенок — так называли человека, игравшего роль связующего звена в коллективе.

В русской среде фамилия оформлена без суффиксов, что для фамилий с тюркской основой не редкость: исходное прозвище просто закрепилось в документах в той же форме. Обратите внимание, что ударение, вероятно, падает на последний слог — Бири́г, хотя в русском быту оно могло сместиться. Географически фамилия тяготеет к югу Сибири и Средней Азии, где исторически были сильны киргизские и казахские влияния.

Если сравнивать с однокоренными, то в той же семье лежат фамилии Бириков, Биригин, но Бириг стоит особняком — он сохранил исходную глагольную основу почти без изменений. Это даёт основание думать, что носители фамилии либо сами были выходцами из тюркоязычной среды, либо их предок получил прозвище в контакте с ней.