Фамилия Битиашвили — грузинская, и это сразу видно по финали -швили. В грузинской ономастике этот суффикс означает «сын» или «рождённый», и он самый массовый в стране (примерно две трети всех грузинских фамилий оканчиваются именно так). Аналог — русские фамилии на -ов/-ев или -ин. Так что носитель фамилии Битиашвили — потомок человека, которого в роду звали Битиа.

Основа Битиа — это, скорее всего, сокращённая или ласкательная форма от грузинского имени Бити (или Бита). В Грузии, как и везде, было принято укорачивать имена для повседневного общения. Полное имя могло звучать как, например, Битиа от Битиаш (редкое, но встречающееся) или от Бит (возможно, от Бидзина). Точное значение исходного имени неоднозначно: некоторые исследователи связывают корень «бит-» с древнегрузинским словом, обозначавшим «сильный» или «крепкий», но уверенной этимологии нет. В любом случае, это личное имя, которое закрепилось за основателем рода.

Географически фамилия Битиашвили тяготеет к восточной Грузии — Кахетии и Картли. Там суффикс -швили особенно распространён. В западной Грузии чаще встречаются фамилии на -дзе или -ава. Поэтому, если ваши предки из Грузии, можно предположить, что они жили в восточных регионах, возможно, в окрестностях Телави или Гори.

Социальный контекст: фамилии на -швили в Грузии не были строго дворянскими или крестьянскими — они встречались у всех сословий. В отличие от княжеских фамилий на -дзе (которые чаще указывали на знатное происхождение), -швили мог носить и крестьянин, и ремесленник, и священник. Поэтому по одной фамилии Битиашвили сословие предков не определить — это мог быть кто угодно, от пастуха до торговца.

В русском языке фамилия часто пишется с ударением на второй слог: Битиашви́ли, хотя в грузинском оригинале ударение может падать на третий слог с конца. При склонении фамилия не изменяется по падежам — это общее правило для фамилий на -и (как и Кутатели, Орбелиани).