Фамилия Бияковская — редкий случай, когда географическое происхождение почти наверняка перевешивает любую другую версию. Её основа, суффикс и окончание указывают на то, что перед нами типичная фамилия-топоним, образованная по модели «название места + -ский / -цкий». Такие фамилии в старину давали либо дворянам по названию их поместья, либо — гораздо чаще — выходцам из конкретного села или города, которые переселялись в другую местность и получали прозвание по покинутому дому.

Корень «Бияк» почти наверняка восходит к названию населённого пункта. На карте бывшей Российской империи и соседних земель можно найти несколько вариантов: село Бияк или Бияки на Украине (в Житомирской области), а также топонимы с похожим звучанием в Беларуси и Польше. Само слово «Бияк» может иметь тюркские корни (от «бий» — князь, господин) или славянские диалектные, но для носителя фамилии важнее другое: его предок, скорее всего, был крестьянином или мещанином, который перебрался из деревни Бияки в другое место, и односельчане или чиновники записали его как «Бияковский» — то есть «тот, кто из Бияков».

Суффикс -ск- в фамилии не указывает на принадлежность одному человеку (как -ов или -ин), а закрепляет связь с территорией. Поэтому Бияковских не могло быть много в одном селе: фамилия закреплялась за конкретной семьёй, ушедшей на новое место. В польской и западнорусской традиции такие фамилии на -ский были распространены среди шляхты, но в случае с Бияковской нет никаких оснований считать предков дворянами — топонимические фамилии активно усваивались и крестьянами, и духовенством.

В написании фамилии обращает на себя внимание окончание -ая. Это типичная русская адаптация польской или украинской формы на -а. В исходном польском варианте фамилия звучала бы как Bijakowski (мужской род) и Bijakowska (женский). Русский язык переделал окончание в соответствии с грамматикой прилагательных, но сохранил корень без изменений. Если бы предки фамилию получили в центральной России, скорее всего, она звучала бы как Бияков или Биякин.

Другие версии — от прозвища «Бияк» (возможно, от глагола «бить», то есть драчун, или от названия орудия) — выглядят менее убедительными, потому что суффикс -ский для прозвищных фамилий нехарактерен: прозвище обычно обрастало суффиксами -ов или -ин. Так что географическая версия остаётся основной и наиболее логичной.