Фамилия Бокренко — редкий случай, когда суффикс -енко не указывает на украинское происхождение с уверенностью, а скорее ставит вопрос. Обычно -енко («маленький», «сын») характерно для востока Украины, но основа Бокр- в украинском языке не встречается в виде самостоятельного слова. Это заставляет искать корень в других славянских языках или диалектах.

Самая вероятная версия — прозвище Бокря или Бокр, которое давали человеку с бочкообразной, круглой фигурой. В русских и белорусских говорах «бокр» — это утолщение, выпуклость, нечто вздутое. Сравните с польским «bok» (бок) или «boczek» (бок, окорок). Фамилия могла означать «тот, кто похож на бочонок» — не оскорбительное, а бытовое прозвище, данное по внешности. Суффикс -енко в таком случае приклеился к прозвищу уже на русской или смешанной территории, где форма на -енко стала универсальным маркером фамилии, независимо от реального происхождения основы.

Менее убедительно выводить фамилию из имени Бокр — гипотетической формы от Богдан или Борис. Такие сокращения не зафиксированы в источниках. Также маловероятна связь с литовским «bokštas» (башня) или немецким «Bock» (козёл) — слишком далёкие заимствования для бытовой фамилии. Географически Бокренко встречается в основном в Центральной России и на юге, в Краснодарском крае, что указывает на позднюю миграцию носителей, а не на исконно украинский ареал.

Особенность фамилии — её редкость. Она не входит в списки распространённых фамилий ни в одной из славянских стран. Это значит, что родоначальник Бокренко был, скорее всего, крестьянином или ремесленником из малолюдной местности, чьё прозвище не успело разойтись на множество ветвей. Если в вашем роду есть предание о предке-бондаре (мастере по бочкам), это косвенно подтверждает версию о «бочке»: бондарь мог получить прозвище по своему изделию.