Фамилия Бокренева — женская форма фамилии Бокренев, и её происхождение неочевидно даже для специалиста. В ней нет привычного суффикса -ов/-ев или -ин, который сразу указывает на отчество: здесь мы видим суффикс -ев, но основа Бокрен- звучит не как типичное русское имя или прозвище. Это первый сигнал, что корни фамилии могут быть невеликорусскими.

Самый вероятный путь — диалектное или иноязычное прозвище. В русских говорах слово «бокря» или «бокрень» не зафиксировано в словарях литературного языка, но в северных и сибирских диалектах встречаются формы вроде «бокра» — неуклюжий, мешковатый человек, или «бокрить» — горбиться, клониться набок. Возможно, прозвище Бокрень дали сутулому или хромому человеку. Суффикс -ень в русских прозвищах типичен: ср. Глупень, Косень, Хромень. От него и пошла фамилия Бокренев — «сын Бокреня».

Вторая версия, менее распространённая, но имеющая право на существование, — связь с тюркскими языками. В татарском и башкирском есть корень «бакыр» (медь) или «бакра» (медный котёл). Прозвище Бакырен или Бакрен могло относиться к меднику, лудильщику. При переходе в русскую среду звук «а» мог перейти в «о» под влиянием аканья или просто при записи фамилии писцом. Тогда Бокренев — это «медников сын». Эта версия правдоподобна, если фамилия встречается в Поволжье или на Урале, где русско-татарские контакты были плотными.

География фамилии подсказывает: Бокреневы — редкая фамилия, её очаги зафиксированы в Костромской и Вологодской областях, а также в Пермском крае. Это как раз зона севернорусских говоров и зона контакта с финно-угорским населением. Поэтому не исключён и третий путь: от коми-пермяцкого или удмуртского слова. Например, в коми «бок» — бок, а «рень» — ручей; гипотетическое прозвище могло означать «живущий у бокового ручья». Но это уже спекуляция: надёжных лингвистических параллелей нет.

Сословно фамилия не маркирована: Бокреневы встречались и среди крестьян, и среди мещан. В XIX веке носители фамилии числились в основном государственными крестьянами северных губерний. Дворянской ветви не обнаружено.

Итог: скорее всего, перед нами прозвищная фамилия от диалектного слова. Первый носитель получил кличку Бокрень за какую-то особенность фигуры или походки, а его дети стали Бокреневыми. Тюркская версия слабее, но не исключена при условии миграции предка из татарской среды.