Фамилия Болигар — редкий случай, когда корень слова почти наверняка иноземный, а суффикс — русский. Если отбросить окончание, основа «Болигар» не имеет очевидных славянских параллелей. Самый прямой путь — увидеть здесь южнославянский или западнославянский вариант названия народа «болгары». В болгарском, сербском, а также в польском и чешском языках слово «болгарин» звучит с корнем «булгар» или «българ». Русское ухо могло адаптировать это как «Болигар» — через «о» и с мягким «г».

Фамилия образована по продуктивной модели на -ар: так в русском языке называли человека по роду занятий (гончар, бондарь, псарь) или по характерному признаку (усач, горбун). В данном случае «Болигар» — это прозвище, которое означало «человек из Болгарии» или «тот, кто похож на болгарина». Суффикс -ар здесь не ремесленный, а этнический, как в фамилиях Татаринов, Немцов или Греков, но оформленный иначе, без типичного русского суффикса -ов/-ев.

Вероятнее всего, предок носителя фамилии был выходцем с Балкан, попавшим в русскую среду, либо получил такое прозвище за внешность, говор или обычаи, напоминавшие болгарские. Фамилия могла закрепиться в среде казачества или в южнорусских областях, где контакты с южными славянами были исторически частыми.

Менее правдоподобная, но возможная версия — искусственное происхождение в семинарской среде. Священникам иногда давали фамилии по названиям народов или церковных праздников, но «Болигар» не похож на типичные семинарские образования (обычно на -ский). Скорее, это бытовое, уличное прозвище, которое в какой-то момент стало наследственным.

Фамилия нечастотна. В дореволюционных справочниках и переписях она почти не встречается, что говорит о её локальном бытовании, возможно, в одной-двух губерниях. В современной России носители Болигар единичны. Если ваши предки носили эту фамилию, стоит искать их в метрических книгах южных регионов — Курской, Воронежской или Харьковской губерний, а также среди запорожских и донских казаков.