Фамилия Боршевников — довольно редкая, и её происхождение не лежит на поверхности. В ней отчётливо выделяется суффикс -ов, указывающий на принадлежность (чей? — Боршевников), и суффикс -ник, который в русских фамилиях часто обозначает род занятий или характерный признак человека. Основа здесь — «боршевник». Если отбросить суффиксы, остаётся корень «борщ» или «борш».

Самая прямая версия связывает фамилию с растением борщевик. В старину его называли «боршевник» или «борщовник». Молодые побеги борщевика шли в пищу — из них варили щи, то есть тот самый борщ. Человек, которого прозвали Боршевником, мог быть любителем этого растения, либо, что вероятнее, его сборщиком или продавцом зелени на рынке. В северных и центральных говорах слово «боршевник» означало и просто «зелень для щей», так что прозвище могло закрепиться за огородником или поваром.

Менее очевидная, но возможная версия — связь с диалектным глаголом «боршать» (говорить резко, грубить, или, наоборот, бормотать). В этом случае Боршевник — человек с неласковым характером или неразборчивой речью. Однако эта гипотеза слабее: глагол редок, а прозвища от названий растений в крестьянской среде встречались гораздо чаще, чем от малопонятных глаголов.

Обратите внимание на суффикс -ник. В фамилиях на -ников обычно зашифровано конкретное занятие или предмет, с которым человека связывали окружающие. Боршевников — не просто «сын Боршева», а «сын того, кого звали Боршевник». Такая модель образования типична для северных и центральных областей России, особенно для бывших новгородских земель, где любили прозвища по роду деятельности.

Таким образом, с наибольшей вероятностью первый Боршевников был человеком, так или иначе связанным с борщевиком: либо он его собирал, либо торговал им, либо просто жил в местности, где этого растения было много и оно бросалось в глаза. Фамилия недворянская, скорее всего, крестьянская или мещанская, и возникла она не позднее XVII–XVIII веков, когда подобные прозвища начали закрепляться за потомками.