Фамилия Борзецов — редкий случай, когда прозвище, лёгшее в основу, почти не оставило следов в литературном языке, но хорошо сохранилось в диалектах. Разбирать её нужно не с корня, а с суффикса: -ец- в середине слова (Борз-ец-ов) указывает на отчество от прозвища Борзец. Суффикс -ец в русских фамилиях часто означал «сын такого-то» или «носитель признака» (ср. Молодец — Молодцов, Удалец — Удальцов). То есть Борзецов — буквально «сын Борзеца».

Корень борз- в древнерусском языке означал «быстрый, резвый, проворный». Отсюда слово «борзый» (борзая собака — быстрая), глагол «борзеть» (торопиться) и даже «борзописец» (скорописец). Прозвище Борзец могли дать человеку за стремительность в делах, за быструю речь или за вспыльчивый нрав — в говорах «борзкой» означало ещё и «дерзкий, нахальный». В северных и сибирских диалектах, по данным словаря Даля, «борзец» — это не только резвый человек, но и «торопыга, нетерпеливый».

Географически фамилия Борзецов тяготеет к центральным и северным областям России. В документах XVII века встречаются крестьяне и посадские люди с таким прозвищем в Вятке и на Устюге. В дворянских родословных книгах Борзецовы не значатся — фамилия явно крестьянско-мещанская, без сословных привилегий. Её носители, скорее всего, были людьми действия: гонцами, ямщиками, ремесленниками, которых ценили за скорость.

Спорных версий у фамилии почти нет. Иногда её пытаются связать с тюркским «борз» (волк), но это натяжка: для тюркских заимствований в русских фамилиях характерны другие суффиксы, а -ец- — исконно славянский показатель. Намного правдоподобнее, что Борзецов — чисто русское прозвище, образованное по той же модели, что и Быстрецов, Скороходов или Решетов (от «решетый» — быстрый).