Фамилия Борзенко — классический пример украинской модели фамилий на -енко, которая буквально означает «сын» или «потомок». В основе лежит прозвище Борзой (или Борзый). В старом русском и украинском языке это слово значило «быстрый, стремительный, проворный, бойкий, рьяный». Прямой ответ на вопрос, откуда фамилия: её дали как «сын Борзого» — то есть человеку, чей отец или предок носил такое прозвище.

Значение прозвища можно толковать по-разному, и здесь нет одной единственной версии, что даёт объёмную картину. Первый и самый прямой смысл — характер человека. Борзым называли того, кто всё делал быстро: бегал, работал, принимал решения. Второй вариант опирается на глагол «борзиться» — «торопиться, ретиво браться за дело». В этом случае прозвище скорее указывало на трудолюбивого мастера или ремесленника, который не откладывал дела в долгий ящик.

Третья, менее распространённая, но любопытная версия связывает прозвище с псовой охотой. Борзыми называли породу собак, и Борзым могли прозвать человека, который держал таких собак или был страстным охотником. В любом случае, прозвище закрепилось за человеком и со временем перешло в фамилию.

Суффикс -енко — типичный для украинских фамилий, особенно распространённых на Левобережной Украине и в южнорусских областях (Черноморский край, бывшая Екатеринославская губерния). Именно там фиксируются ранние упоминания носителей фамилии: в документах начала XX века встречаются Борзенко Андрей Исаевич (1888 г.р.) и Борзенко Василий Ефремович (1899 г.р.). География бытования фамилии — в основном юг России, Украина и прилегающие регионы, что подтверждает её происхождение из среды казачества или крестьянства.

Фамилия Борзенко стоит в одном ряду с однокоренными фамилиями: Борзов (русская форма на -ов), Борзых (северная форма на -ых) и Борзенков (вторичная русификация). Но именно форма на -енко сохраняет исходную украинскую модель и прямо указывает на родство: «чей сын? — Борзенко».