Фамилия Борзенко образована от прозвища Борзой. Так, фамилия Борзенко ведет свое начало от прозвища Борзой (Борзый). Прозвище Борзой (Борзый) образовано от аналогичного прилагательного со значением «быстрый, стремительный», «скорый, проворный, прыткий, бойкий, рьяный», «смелый, ловкий». Согласно другой гипотезе, основой для прозвища послужил глагол «борзиться» — «торопиться, ретиво браться за дело; делать что-либо быстро». В таком случае Борзым могли прозвать трудолюбивого человека, отличного мастера, ремесленника. Также не исключено, что, что прозвище Борзой получил человек, содержащий борзых собак, любитель псовой охоты. Позже прозвище Борзой, изначально присоединенное к наследственному имени, полностью заменило его как в повседневной жизни, так и в официальных документах. Поэтому Борзенко буквально понималось как «сын Борзого». Так, в документах начала XX века упоминаются: Борзенко Андрей Исаевич (родился в 1888 году в Черноморском крае, русский), Борзенко Василий Ефремович (родился в 1899 году в с. Новотроицкое Частоозерского района, русский) и др.