Фамилия Борзихин — редкая, и её разбор стоит начать с суффикса. Окончание -ихин указывает на модель, характерную для северных и сибирских регионов России, прежде всего для Архангельской, Вологодской, Вятской губерний и Пермского края. Суффикс -ихин — это вариант более распространённого -их/-ых, который образовывал фамилии от прозвищ или названий, указывающих на принадлежность к семье: «чей?» — «Борзихин», то есть «сын (или потомок) того, кого звали Борзиха». Сама форма «Борзиха» — это женский вариант прозвища, которое могло принадлежать главе семьи, но чаще так называли жену или вдову человека по прозвищу Борзой.

Корень «борз-» восходит к древнерусскому слову «борзый» — «быстрый, резвый, проворный». В старину «борзый» было распространённой характеристикой: борзый конь, борзый бег. Прозвище Борзой давали человеку с быстрой реакцией, скорому на ногу или на язык. В польском и чешском языках аналогичное слово «brzy» означает «скоро», и корень этот общеславянский. Таким образом, основа фамилии — прозвище Борзой, а фамилия Борзихин буквально значит «из семьи Борзого».

Есть и вторая, менее вероятная, версия. В некоторых говорах «борзиха» могло быть прозвищем, образованным от названия растения «борщевик» или «борзина» (в диалектах — вид травы). Но это объяснение слабее: во-первых, слово «борзина» малоупотребительно, во-вторых, модель с суффиксом -ихин обычно образуется от личных прозвищ, а не от ботанических названий. Поэтому версия с «борзый» — основная и самая правдоподобная.

Сословно фамилия Борзихин — почти наверняка крестьянская. Формы на -ихин и -ых в центральной России встречались редко, зато в среде черносошных крестьян Русского Севера и Урала они были нормой. В документах XVII–XVIII веков такие фамилии фиксировались как отчества или семейные прозвания, и лишь к XIX веку закрепились окончательно. Географически фамилия Борзихин встречается в основном в Пермском крае и Кировской области — это подтверждают данные современных телефонных справочников и переписей. В других регионах она единична.

Интересно, что фамилия Борзихин не имеет отношения к слову «борзая» (порода собак), хотя внешне это похоже. «Борзая» — тоже от «борзый», но в фамилии сохранилась более архаичная форма без суффикса -ая. Если бы фамилия происходила от названия собаки, она скорее звучала бы как Борзов или Борзяев. Таким образом, предок носителя фамилии Борзихин, скорее всего, был просто очень быстрым человеком — или получил такое прозвище за расторопность в работе, за скорую ходьбу или за резвый нрав.