Фамилия Борзин — редкий вариант на -ин от более распространённой фамилии Борзов. В основе обеих лежит прозвище Борзой. В старину «борзый» значило «быстрый, резвый, скорый». Так могли прозвать проворного человека, скорохода или того, кто славился быстрой ездой верхом. Слово того же корня, что и «борзая» — порода собак, ценящаяся за стремительность в беге.

Фамилии на -ин обычно образовывали от основ на -а/-я: Борза → Борзин. То есть Борзин буквально означает «сын Борзого» или «потомок того, кого звали Борзой». Модель с суффиксом -ин встречается реже, чем -ов, поэтому фамилия Борзин заметно уступает по численности фамилии Борзов, но принадлежит к тому же смысловому гнезду.

Старинные дворянские роды Борзовых известны по документам с XVII века. Один из родоначальников — Алексей-Дружина Борзов, владевший в 1659 году поместьем в Симбирском уезде. Он служил в детях боярских, а позднее стал станичным головой и погиб в 1670 году в сражении с отрядами Степана Разина под Белым Яром. Другой род Борзовых, более многочисленный, восходит ко второй половине XVII века и записан по Могилевской, Калужской, Московской и Саратовской губерниям. Фамилия Борзин, скорее всего, ответвилась от одного из этих родов или возникла в той же среде служилых людей, где прозвище Борзой было привычным.

Встречается и другая, менее вероятная версия: связь с топонимом Борзя — река и город в Забайкалье. Но массовое появление фамилий по географическим названиям характерно для более позднего времени, а прозвищный корень «борзой» известен с допетровской эпохи. Поэтому объяснение через прозвище остаётся основным.