Фамилия Борзая — редкий случай, когда в основе фамилии лежит не профессия, не имя и не географическое название, а прозвище, данное за скорость или особенности поведения. В отличие от подавляющего большинства русских фамилий, которые оканчиваются на -ов, -ин или -ский, форма Борзая — это полное прилагательное в женском роде. Такая модель образования характерна для прозвищ, которые закрепились за человеком и со временем стали фамилией, часто без добавления суффикса. Мужской вариант — Борзой, но в документах могла закрепиться именно женская форма, если речь шла о женщине-родоначальнице или если прозвище было дано в форме прилагательного без родовой привязки.

Слово «борзый» в древнерусском языке означало «быстрый, резвый, скорый». Отсюда же и название породы собак — борзые, но это вторичное значение. Прозвище Борзой или Борзая могли дать человеку за стремительную походку, торопливость в делах или даже за вспыльчивый, «быстрый» нрав. В говорах слово «борзой» могло означать и «дерзкий, нахальный», что тоже могло стать причиной прозвища. Таким образом, предок носителя фамилии Борзая был, скорее всего, человеком живым, непоседливым или резким на язык.

Встречается фамилия преимущественно в южнорусских и центральных областях, особенно на территории бывшего Черноземья и в казачьих регионах. У донских казаков фамилия Борзая фиксируется с XVIII века — в списках казачьих станиц можно найти Борзых, Борзовых и Борзых. Форма Борзая могла возникнуть как вариант фамилии Борзых (типичной для северных говоров) под влиянием южного аканья и особенностей местного произношения, когда окончание -ых воспринималось как -ая.

С точки зрения словообразования фамилия стоит особняком: она не вписывается в стандартную модель «основа + суффикс принадлежности». Это так называемая «окаменелая» форма прилагательного, которая перешла в разряд фамилий без изменений. В исторических документах встречаются и параллельные варианты: Борзов, Борзенков, Борзиков — все они образованы от того же корня, но с помощью типичных суффиксов. Фамилия Борзая сохранила архаичную форму, что делает её ценной для лингвистов: она показывает, как в XVIII–XIX веках прозвища могли закрепляться в качестве фамилий, минуя стандартные грамматические шаблоны.

Ономастический словарь Б. Унбегауна относит подобные фамилии к группе «прозвищных», где прилагательное напрямую становится фамилией. Никакой связи с собаками, вопреки возможному предположению, здесь нет — человеку давали прозвище по его собственной резвости, а не по породе пса.