Фамилия Борзюк образована по одной из самых распространённых в украинской и белорусской ономастике моделей: с помощью суффикса -юк, который указывает на «малого» или «потомка». Если Борза — прозвище отца, то Борзюк — его сын, «маленький Борза» или «наследник Борзы». Такая модель (основа + -юк) типична для западноукраинских и южнобелорусских земель, поэтому географически фамилия скорее всего закрепилась именно там.

Основа фамилии — прозвище Борза, которое связывают с прилагательным «борзый»: быстрый, стремительный, проворный, бойкий. В старом русском языке это слово означало не только резвость, но и смелость, рьяность, пылкость. Однако есть и вторая версия: прозвище могло произойти от глагола «борзиться» — торопиться, ретиво браться за дело. В таком случае Борзой называли не просто быстрого, а трудолюбивого человека, отличного мастера, который всё делал споро и умело.

Менее вероятно, что прозвище связано с содержанием борзых собак или псовой охотой. В говорах борзой — это именно хорт, борзая собака, но прозвище Борза в значении «охотник» встречается редко и уступает по убедительности версии о характере или ремесле.

Суффикс -юк в фамилии Борзюк — не просто уменьшительный. В украинской традиции он часто закреплялся за сыном, когда отец был известен под прозвищем Борза. Со временем прозвище отца перестало употребляться самостоятельно, а фамилия Борзюк стала наследственной. Интересно, что в русских фамилиях та же основа дала формы Борзов, Борзых, Борзенков, но именно вариант с -юк выдает западнорусское или украинское происхождение носителя.