Фамилия Борзенок образована от прозвища Борза. В основе лежит прилагательное «борзый» — «быстрый, стремительный», «скорый, проворный, прыткий, бойкий, рьяный», «смелый, ловкий». Такое прозвище мог получить человек с живым, порывистым характером, который всё делал быстро и энергично.

Есть и вторая версия, не менее убедительная. Она отсылает к глаголу «борзиться» — «торопиться, ретиво браться за дело; делать что-либо быстро». В этом случае Борзой называли не просто темпераментного человека, а трудолюбивого мастера, ремесленника, который работал споро и ловко. Эта версия кажется даже более правдоподобной, если учесть, что прозвища часто давали по профессиональным качествам.

Менее вероятно, хотя и не исключено, что прозвище Борза получил любитель псовой охоты, содержатель борзых собак. Но это скорее вторичное, бытовое осмысление, когда первоначальный смысл прозвища уже стёрся.

Сама фамилия образована с помощью характерного для украинской, белорусской и южнорусской традиции суффикса -енок. Этот суффикс обычно указывал на «младшего»: сына, внука или ученика того, кто назван в основе. То есть Борзенок — это буквально «сын Борзы» или «маленький Борза». Такая модель роднит фамилию с Борзенко, Борзёнков, Борзиков и другими однокоренными.

Со временем прозвище Борза, изначально присоединённое к наследственному имени, полностью заменило его — и в повседневной жизни, и в официальных документах. Фамилия Борзенок закрепилась в формах, которые мы знаем сейчас, и стала наследственным родовым именем.