Фамилия Борзина — это женская форма фамилии Борзин, а та, в свою очередь, образована от прозвища Борзой. В основе лежит прилагательное «борзый» — то есть быстрый, резвый, проворный. Так на Руси могли прозвать человека с живым нравом, скорого на ногу или на дело. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «Борзин» означает «сын Борзого» или «из семьи Борзого».

Мужская фамилия Борзов, от которой произошла и Борзина, известна в дворянской среде. В истории зафиксированы два старинных дворянских рода Борзовых. Родоначальник одного из них — Алексей-Дружина Борзов, владевший в 1659 году поместьем в Симбирском уезде. Он служил по Симбирску в детях боярских и погиб в 1670 году в сражении под Белым Яром, когда был уже станичным головой: его убил отряд Степана Разина. Другой род Борзовых восходит ко второй половине XVII века. Он более многочисленный и записан по Могилевской, Калужской, Московской и Саратовской губерниям.

Фамилия Борзина встречается реже, чем Борзова, и чаще всего в центральных и южных регионах России. Встречаются варианты ударения: на первый или на второй слог — оба допустимы, хотя исторически логичнее ударение на корень (Бо́рзина), поскольку так сохраняется связь с исходным прозвищем Борзой. Если ваши предки носили эту фамилию, они вполне могли происходить из среды служилых людей или крестьян, получивших прозвище за быстроту и сноровку.