Фамилия Борзинский звучит так, будто её носитель родом из места с названием Борзино или Борзки. Но на деле корень здесь — не топоним, а прозвище «Борза», которое в русских говорах означало «быстрый, резвый, проворный» (от общеславянского *бързъ, того же корня, что и «борзый» в выражении «борзая собака»). То есть Борза — это человек с живым, стремительным характером, или, возможно, гонец, скороход.

Фамилия образована по типичной для польско-литовской и западнорусской традиции модели: основа + суффикс -ин + -ский. Сначала от прозвища Борза возникло притяжательное прилагательное Борзин (чей? — Борзин сын), а затем к нему добавили дворянский суффикс -ский, превративший фамилию в «Борзинский». Такая двойная суффиксация характерна для шляхетских фамилий XVI–XVII веков: она указывает, что предок получил фамилию не от названия поместья, а от личного прозвища, но оформил её «по-благородному». В Речи Посполитой, куда входили белорусские и украинские земли, это был распространённый способ «облагородить» простонародную основу.

Географически фамилия тяготеет к западным губерниям Российской империи — Могилёвской, Витебской, Гродненской. Там же встречаются однокоренные Борзенко, Борзых, Борзов. Но если Борзов — типично русская фамилия с суффиксом -ов, то Борзинский явно выдает польско-католическое или униатское происхождение. Встречаются и варианты написания: Боржинский (полонизированное), реже Барзинский (с аканьем).

Что касается сословной принадлежности, то большинство Борзинских — мелкопоместная шляхта или однодворцы, то есть потомки служилых людей, не имевших крепостных, но сохранявших личную свободу. В XIX веке фамилия могла перейти и к крестьянам, если помещик давал вольную или если шляхтич терял статус. Известных носителей с громкой славой нет — это фамилия не столичная, а скорее уездная, что делает её типичным примером того, как личное качество предка стало родовым именем на несколько веков.