Фамилия Борзий — редкая, но прозрачная по устройству. Её основа — слово «борзой», то есть быстрый, резвый, скорый. В русских говорах «борзый» означало проворного, поспешного человека, а в некоторых регионах — ещё и наглого или дерзкого. Суффикс -ий в фамилии указывает на притяжательное значение: Борзий — это буквально «чей?» — сын или потомок Борзого. Такая модель образования (прилагательное + -ий) встречается в русских фамилиях реже, чем стандартные -ов/-ев, и чаще закреплялась в южнорусских и украинских землях, где фамилии на -ий, -ый более характерны.

Вероятнее всего, фамилия Борзий произошла от прозвища: первого носителя могли прозвать Борзым за быстроту в ходьбе, беге или работе. Не исключён и другой вариант — прозвище давали человеку с резким, нетерпеливым нравом. В исторических документах встречаются однокоренные фамилии — Борзов, Борзых, Борзенков, — но Борзий стоит особняком из-за окончания. Это может говорить о том, что фамилия сформировалась в среде, где было принято закреплять прозвище в форме прилагательного без дополнительных суффиксов, что характерно для западных и южных областей России, а также для Украины.

Слово «борзой» связано и с породой собак — русская псовая борзая, — но маловероятно, что прозвище давали из-за охотничьей собаки: скорее, наоборот, собаку назвали по качеству «борзый», то есть быстрый. Поэтому связь фамилии с охотой возможна лишь косвенная, если предок был псарем или держал борзых.

С точки зрения сословной истории, фамилия Борзий не встречается среди дворянских родов, что указывает на крестьянское или мещанское происхождение. В переписях XIX века носители этой фамилии фиксировались на юге России, в частности в Курской и Воронежской губерниях, а также на Кубани. Со временем написание могло колебаться: встречаются варианты Борзый и Борзий, но форма с «и» — более поздняя, возникшая под влиянием украинской или белорусской фонетики, где «ы» переходит в «и».

Таким образом, фамилия Борзий — это прозвище, ставшее фамилией, которое говорило о характере или поведении предка. Носитель этой фамилии может с уверенностью считать, что его дальний родственник был человеком быстрым, живым и, возможно, неугомонным.