Фамилия Борзихины — яркий пример северного, точнее, вологодско-архангельского типа фамилий на -их (или -ых). В среднерусской и южной традиции фамилии чаще закреплялись в форме родительного падежа единственного числа (Борзин, Борзов), а на Русском Севере, в Сибири и в некоторых областях Поволжья прижилась форма множественного числа. Борзихин буквально означает «из семьи Борзихи»: главу рода или двора звали Борзиха, а его домочадцев и потомков — Борзихины.

В основе фамилии лежит прозвище Борзой или Борзый. В древнерусском языке слово «борзый» значило «быстрый, резвый, проворный». Так могли назвать стремительного в движениях человека, скорого на ногу или на руку. В говорах у слова были и переносные значения: «бойкий, смелый» или даже «горячий, вспыльчивый». Прозвище Борзой известно с XV–XVI веков, его носили люди разных сословий — от крестьян до служилых людей. От этого же корня пошли фамилии Борзов, Борзых и Борзиков.

Редкий суффикс -их- в Борзихиных указывает на то, что основа, скорее всего, была женской формой — Борзиха. В северных семьях жену или вдову нередко называли по мужу: если мужа звали Борзой, то его жену — Борзиха. Дети же автоматически получали фамилию по матери-вдове или по старшей женщине в доме, что для центральной России нехарактерно, а для Поморья и Вятки — обычное дело. Так Борзихины оказываются «детьми Борзихи», а не напрямую «Борзого».

Достоверно известно, что фамилия бытовала в Вологодской губернии. В исповедных ведомостях Тотемского уезда за XVIII век встречаются крестьяне Борзихины. Географическая привязка к северным территориям подтверждает и форму на -их: на Вологодчине такие фамилии составляют до 15–20% всех местных родовых имён. Встречаются Борзихины и за Уралом — в Тюменской и Курганской областях, куда переселенцы увозили свой говор и фамильный уклад в XIX веке.

Если ваши предки — Борзихины, скорее всего, они происходят из среды государственных или монастырских крестьян Русского Севера. Дворянских родов с такой фамилией не зафиксировано, что тоже типично: прозвище Борзой было распространено именно в простонародье. Фамилия не угасла и сегодня — её носители живут в основном в Вологодской, Архангельской и Кировской областях, а также в Сибири, сохраняя память о далёком предке, которого за быстроту и сноровку прозвали Борзым.