Фамилия Борзуков происходит от прозвища Борзук. В русских говорах «борзук» или «борзко» — быстрота, проворство, резвость, а «борзый» означает быстрый, скорый. Так могли прозвать человека с живым, нетерпеливым характером, который всё делал быстро, или же наоборот — в ироничном смысле медлительного. В пользу первого варианта говорит устойчивость прозвищ по манере поведения: в старых документах встречаются и Борзые, и Борзенки, и Борзуны.

Словообразовательная модель типична для русских фамилий: суффикс -ов присоединился к основе Борзук, указав на принадлежность — «сын Борзука». Фамилия фиксируется с XVII века в разных регионах. В переписи 1678 года по Воронежскому уезду упомянут «Микитка Борзуков», что подтверждает её раннее бытование в черноземной полосе. Позднее Борзуковы встречаются в курских, орловских и тамбовских документах — зона распространения совпадает с ареалом говоров, где слово «борзук» было в ходу.

Интересная деталь: в некоторых местных говорах «борзук» могло означать не только человека, но и животное — так в рязанских и тульских диалектах называли хорька или суслика. Если прозвище дали по этому значению, то предок Борзуковых мог быть либо ловким, юрким человеком, либо иметь отношение к охоте на мелкого зверя. Однако прямая связь с диалектным названием зверька менее вероятна: в письменных источниках прозвище Борзук у людей встречается раньше и чаще, чем у животных.

Однокоренные фамилии — Борзов, Борзенков, Борзунов — образованы от тех же корней, но с разными суффиксами. Борзуков среди них стоит особняком: суффикс -ук в основе нечасто встречается в русских прозвищах, он более характерен для украинской и белорусской традиции. Возможно, предок Борзуковых был выходцем с западнорусских земель, где форма «борзук» (в значении «резвый») была привычнее, чем в северных говорах.