Фамилия Борзуковы — одна из тех, где в основе лежит не имя, а прозвище, причём прозвище редкое и выразительное. Разговорное слово «борзук» или «борзюк» в русских говорах означало «быстрый, проворный, резвый человек», а иногда и «нетерпеливый, порывистый». Корень тот же, что в слове «борзой» (быстрый), которое сохранилось в названии породы собак. Так что первый Борзуков, скорее всего, получил своё прозвище за характер — за живость, непоседливость или горячность.

По модели образования фамилия относится к самому массовому типу: суффикс -ов присоединился к основе Борзук. Это стандартный «патроним» (или, точнее, «прозвищная» фамилия), отвечающий на вопрос «чей сын?» — сын Борзука. В документах XVI–XVII веков в южнорусских и центральных уездах встречается прозвище Борзук, а также фамилия Борзуков. Например, в «Ономастиконе» С. Б. Веселовского упоминается крестьянин Борзук в середине XVI века, что подтверждает древность корня.

Географически фамилия тяготеет к югу России — к Тульской, Орловской, Курской, Воронежской губерниям. Там слово «борзук» было в ходу, и фамилия не стала редкой. В северных и сибирских говорах могло быть иное произношение — «барзук», что иногда путают со словом «барсук», но это разные корни: барсук (зверь) идёт из тюркских языков, а борзук — чисто славянское по происхождению.

Интересно, что в некоторых местностях фамилию могли записать как Борзюков — через «ю» после «з». Это не ошибка, а вариант произношения: в диалектах аканье и смягчение согласных давали формы «Барзюк» и «Борзюк». Оба варианта — однокоренные, но в итоговой фамилии закрепилась та форма, которую выбрал писарь при первой записи. Так что у Борзуковых могли быть однофамильцы с другой буквой, но по сути — те же «резвые» предки.

Сословно Борзуковы не принадлежали к знати. Фамилия встречается среди крестьян, однодворцев, мещан. В списках служилых людей по прибору (стрельцы, казаки) она тоже попадается, но редко. Это фамилия простого человека, которого запомнили за его скорый нрав.