Фамилия Борзукова — женская форма фамилии Борзуков. Её основа — прозвище Борзук, которое в русских говорах означало «быстрый, юркий, проворный человек». Слово «борзой» (скорый, резвый) общеславянское, но в фамилиях оно закрепилось именно в уменьшительной форме: Борзук — тот, кто отличается борзостью, то есть быстротой и живостью.

Модель образования типична для русских фамилий: прозвище Борзук + патронимический суффикс -ов, дающий Борзуков. Суффикс -ук (или -юк) в прозвище указывает на уменьшительность или принадлежность: Борзук могло значить «сын Борзого» или просто «маленький резвый». В некоторых говорах «борзук» — ещё и название молодого борзого кобеля, что тоже могло стать прозвищем для быстрого или задиристого человека.

Версия о связи с борзой собакой (псовая охота) менее вероятна: прозвища от названий собак обычно давали по внешности или поведению, а борзые — порода охотничья, и прозвище Борзук могло получить человек, похожий на неё статью или скоростью. Но основное значение всё же через прилагательное «борзой»: не зря в русском языке есть и фамилия Борзов, и Борзых — однокоренные, с тем же корнем.

Географически фамилия Борзуков встречается преимущественно в центральных и северных регионах России, особенно в Вологодской, Костромской и Архангельской областях. Там слово «борзой» в значении «быстрый» было в ходу до XX века. Суффикс -ук характерен для южнорусских и украинских говоров, но в этой фамилии он, скорее, северный вариант уменьшительного прозвища.

Что касается социального контекста: Борзуковы могли быть крестьянами или посадскими людьми — прозвища такого типа давали в среде, где ценили расторопность в работе, в торговле или в извозе. Никаких указаний на дворянское происхождение этой фамилии нет, она из народной среды.