Фамилия Борзецова — женская форма, исходная мужская — Борзецов. Она образована по продуктивной русской модели с суффиксом -ов, который указывает на принадлежность: Борзецов — сын Борзеца. В основе лежит прозвище или нецерковное имя Борзец.

Само слово «борзец» в древнерусском языке означало «быстрый, проворный, резвый». В говорах слово «борзой» фиксировалось в значении «скорый, прыткий». Прозвище Борзец мог получить человек с живым, подвижным характером, быстрый в движениях или в решениях. Встречается и другая версия: прозвище могли дать по поведению — «борзеть» (становиться дерзким, наглым). В этом случае Борзец — человек смелый, напористый, возможно, задиристый.

Словообразовательная модель проста: основа Борзец- плюс типичный русский фамильный суффикс -ов. Обратите внимание на суффикс -ец в основе: он характерен для прозвищ, образованных от прилагательных (ср. Молодец, Удалец, Хитрец). Борзец — именно такое прозвище, от прилагательного «борзый».

Фамилия не относится к числу очень редких, но и массово распространённой её не назвать. Встречается преимущественно в центральных и южных регионах России, где были сильны традиции прозвищных фамилий. В дореволюционных источниках Борзецовы фиксировались среди крестьян и мещан — сословий, где фамилии часто закреплялись именно по уличным прозвищам, а не по имени отца или роду занятий.

Интересно, что фамилия Борзецова почти не имеет омонимичных вариантов в других славянских языках — это указывает на её исконно русское происхождение, без польского или украинского влияния. Родственными по корню можно считать фамилии Борзов, Борзых, Борзенков — все они восходят к той же основе «борз-».