Фамилия Борзикова — это женская форма, а её основа — мужская фамилия Борзиков, которую образовали от прозвища Борзик. Чтобы понять, что оно значило, нужно заглянуть в старые русские говоры. Прилагательное «борзый» означало «проворный, быстрый, бойкий» — так говорили о человеке, который всё делал ловко и споро. Существовал и глагол «борзиться» — «торопиться, спешить». Скорее всего, прозвище Борзик получил кто-то из предков за свой характер или манеру поведения: резвый, скорый на ногу или на решение.

Встречается и другая, менее вероятная версия: Борзиком могли прозвать любителя псовой охоты, содержателя борзых собак. Но в пользу первой гипотезы говорит то, что в исторических документах, собранных С. Б. Веселовским, фамилия и прозвище чаще связаны с людьми простого звания. Например, в новгородских землях упоминаются: Борзик Михаил, крестьянин (1495 год), Никита Борзой, крестьянин, выступавший послухом при межевании (1460 год, Верея), Исаак Иванович Борзово (1603 год, Новгород) и Борзун Михаил, крестьянин (1498 год, Новгород). Все эти примеры показывают, что прозвище бытовало в крестьянской среде на северо-западе Руси.

Суффикс «-ов» в фамилии Борзиков указывает на типичную модель русских фамилий-притяжательных: «чей?» — «сын Борзика». Со временем это закрепилось как родовое имя. Сама фамилия нечастая, и её географическое распространение, вероятно, связано с новгородскими и верейскими землями, откуда пошли первые носители прозвища. Так что, если вы Борзикова, ваши предки, скорее всего, были людьми расторопными и жили на северо-западе России.