Фамилия Борзиковы образована от личного прозаища Борзик, которое, в свою очередь, восходит к прилагательному «борзый» или к глаголу «борзиться». В старину «борзыми» называли проворных, бойких, ловких в работе или быстрых в движениях людей. Глагол же «борзиться» означает «торопиться, спешить». Таким образом, прозвище Борзик прямо указывало на характер или манеру поведения человека — скорее всего, его обладатель был расторопным и энергичным.

Менее вероятна, но тоже возможна связь с борзыми собаками: прозвище мог получить любитель или содержатель псовой охоты. Однако в народной среде прозвища чаще давали по личным качествам, чем по породам собак, поэтому версия с «борзым» человеком выглядит правдоподобнее.

Сама фамилия образована по стандартной русской модели: к основе Борзик- добавился патронимический суффикс -ов, указывающий на принадлежность («чей?» — сын Борзика). Такая схема была самой распространённой в центральных и северных регионах России. Фамилии на -ов, как правило, носили крестьяне и мещане, реже — купечество, и Борзиковы здесь не исключение.

О точном месте и времени возникновения фамилии говорить сложно: процесс становления фамилий шёл несколько столетий, и документальные свидетельства по Борзиковым разрозненны. Однако можно уверенно сказать, что это не дворянская фамилия и не искусственно созданная в семинариях — она сложилась естественным путём в народной среде. По сравнению с однокоренными фамилиями (Борзов, Борзиков, Борзых), форма Борзиковы сохранила уменьшительный суффикс -ик, что придаёт ей оттенок ласкательности или даже ироничности — так могли прозвать не просто быстрого, а «шустрого» человека, возможно, юркого парня или ребёнка.