Фамилия Борзиков образована от прозвища Борзик, которое восходит к прилагательному «борзый» или к глаголу «борзиться». В старину борзыми называли проворных, бойких, ловких в работе или быстрых в движениях людей. Глагол же «борзиться» означает «торопиться, спешить». Таким образом, прозвище Борзик может указывать на особенности поведения человека. Менее вероятно, что прозвище Борзик получил человек, содержащий борзых собак, любитель псовой охоты. Таким образом, потомок человека, обладающего прозвищем Борзик, со временем получил фамилию Борзиков.