Фамилия Босоьыкин, на первый взгляд, кажется опечаткой или редким вариантом написания. Скорее всего, перед нами искажённая запись фамилии Босоногин или Босоыкин, где буква «ь» попала случайно (например, при переписи или в документе с неразборчивым почерком). Если же это не ошибка, то основа «босоь» не имеет смысла в русском языке, что подтверждает версию об искажении.

Исходная фамилия Босоногин прозрачна по смыслу: она образована от прозвища Босоног — человека, который ходил босиком, не носил обуви. В крестьянской среде такое прозвище могли дать бедняку, которому не на что было купить лапти или сапоги, либо, наоборот, чудаку, ходившему босиком по своей воле. Суффикс -ин указывает на принадлежность: «чей?» — сын Босонога, то есть Босоногин.

Другой возможный вариант — фамилия Босоыкин. Она могла возникнуть от прозвища Босой (человек без обуви) с добавлением суффикса -ык (уменьшительно-пренебрежительного, как в «малыш» → «малык»), а затем фамильного -ин: Босой → Босык → Босыкин. В этом случае «Босоьыкин» — просто ошибка при записи.

Географически фамилии с корнем «бос-» встречаются повсеместно в России, но чаще в южных и центральных губерниях, где беднота была особенно заметна. В словарях ономастов (например, у Веселовского) упоминаются прозвища Босой и Босоног в документах XVI–XVII веков, что подтверждает древность этой модели.

Таким образом, носитель фамилии Босоьыкин, скорее всего, потомок человека, которого в деревне называли Босоногом или Босым — из-за бедности, привычки или особенности внешности. Если вы встретили такое написание в современных документах, стоит проверить архивные записи: вероятно, правильная форма — Босоногин или Босыкин, а лишняя буква — случайность переписчика.