Фамилия Бричёнкин образована от прозвища Бричёнок. Суффикс -ёнок в русских фамилиях встречается реже, чем -ов или -ин, и обычно указывает на «младшего»: так могли назвать сына или ученика мастера. В основе прозвища лежит слово «брич» — так в некоторых южнорусских говорах называли бритву или нож для стрижки овец. Человек с прозвищем Бричёнок, скорее всего, был либо сыном цирюльника или пастуха-стригаля, либо сам помогал в этом ремесле.

Фамилия Бричёнкин — русская, хотя корень «брич» может напоминать польское «brycz» (бричка, повозка). Однако маловероятно, что прозвище связано с повозкой: суффикс -ёнок редко прикрепляется к предметам, чаще — к людям по занятию. Поэтому версия с бритвой или ножом надёжнее. В словаре русских фамилий Б. Унбегауна подобные модели описаны: фамилии на -ёнков, -ёнкин типичны для северных и центральных областей России, особенно для Вологодчины и Костромы.

Написание с буквой «ё» в корне — не случайность. В дореволюционных документах фамилию могли записывать как Бриченкин, но произносили с ударением на второй слог: Бричёнкин. Утрата «ё» при письме — частая ошибка переписчиков, поэтому в современных архивах можно встретить оба варианта. Фамилия редкая: носители сосредоточены в основном в Костромской и Кировской областях, что косвенно подтверждает её северное происхождение.

Сравните с однокоренными фамилиями: Бричков, Бричкин, Бричнев. Все они восходят к тому же корню «брич», но с разными суффиксами. Бричёнкин стоит особняком — суффикс -ёнок придаёт фамилии оттенок уменьшительности и указывает на младшее поколение в семье ремесленника. Социальный статус предка, скорее всего, был невысок: цирюльники и стригали овец в XVII–XIX веках относились к крестьянам или мещанам.