Фамилия Будунгажиева — редкая, с ярко выраженной региональной и этнической привязкой. Её основа — личное имя Будунгажи, которое не встречается в центральнорусских святцах и явно восходит к тюркским или кавказским языкам. Скорее всего, имя сложное: первая часть «будун» может означать «весь, целый, народ» (в древнетюркском bodun — «народ, племя»), а вторая «гажи» — это диалектный вариант имени Гаджи (от арабского «хаджи» — совершивший паломничество в Мекку). В таком случае Будунгажи — «народный хаджи» или «всеобщий хаджи», почётное прозвание.

Суффикс «-ева» указывает на принадлежность: Будунгажиева — «дочь (или жена) Будунгажи». Это типичная модель для фамилий, образованных от мужских имён, в среде, где фамилии закреплялись по отцу. Сама фамилия, скорее всего, кумыкского или дагестанского происхождения. В кумыкском именослове встречаются имена с элементом «-гаджи» (Гаджимурад, Гаджиахмед), а «будун» как архаичный компонент сохранился в ономастике тюркских народов Кавказа.

Интересная особенность — фамилия не получила общерусского распространения. Она почти не встречается за пределами Северного Кавказа, и в исторических документах XIX—XX веков её носители, вероятно, были связаны с земледелием, отгонным скотоводством или ремёслами в горных аулах. В отличие от фамилий на «-ов» из русских крестьянских списков, Будунгажиева не прошла этап массовой паспортизации в центральных губерниях, поэтому сохранила исходное звучание без адаптации.

Если искать однокоренные варианты, то ближе всего фамилия Будунгажиев (мужская форма) и, возможно, Будунов — но последняя могла образоваться от другого корня (например, от тюркского «будай» — пшеница). В случае с Будунгажиевой связь с именем-прозвищем остаётся главной версией, и она подкрепляется тем, что в тюркской антропонимике такие двухосновные имена — не редкость.