Фамилия Бургужи — редкая и неочевидная по происхождению. Чтобы понять её корни, нужно смотреть на окончание: -и. В русской ономастике фамилии на -и (Бургужи, Глухих, Черных) обычно указывают на принадлежность к роду или местности, но в данном случае мы имеем дело не с типичным для центральной России окончанием -их/-ых, а с тюркским или кавказским влиянием. Фамилия явно не славянская по основе.

Скорее всего, Бургужи — это русифицированная форма фамилии, восходящей к тюркскому или кавказскому прозвищу. Корень «бургу» или «бурку» в тюркских языках может означать «крутить», «вить», «завиток» — например, бургут (беркут) — хищная птица, или бургу — нечто согнутое, спиралевидное. В кавказских языках, в частности в осетинском или балкарском, встречаются основы «бур» (желтый, рыжий) или «бурга» (холм, возвышенность). Окончание -жи (или -джи) в тюркских языках — суффикс деятеля, профессии: например, «бургуджи» — тот, кто занимается птицей беркут (охотник с беркутом) или «бургаджи» — живущий на холме, возвышенности.

Таким образом, наиболее правдоподобная версия: фамилия Бургужи происходит от прозвища, данного человеку по роду занятий (охотник с беркутом) или по месту жительства (обитатель возвышенности). Второй вариант — от личного имени-прозвища Бургу, которое могло означать «рыжеватый» или «витой» (о кудрявых волосах). Географически фамилия могла закрепиться среди народов Северного Кавказа, Закавказья или Поволжья (татары, башкиры), а затем, при переселении в русскоязычную среду, получить окончание -и, характерное для местных фамилий.

В русских документах фамилия практически не встречается, что подтверждает её локальный и редкий характер. Если вы носитель этой фамилии, ваши предки, скорее всего, были связаны с кочевым или горским бытом, где ценились навыки охоты или знание местности.