Фамилия Бягай — редкий случай, когда в основе лежит не имя, не профессия и не географическое название, а глагол в повелительном наклонении. Модель образования здесь та же, что у фамилий Хватай, Держи, Терпи — это так называемые «командные» или «императивные» фамилии. Они возникли из прозвищ, которые в прямом смысле приказывали человеку: «Бягай!» — то есть «бегай» (в диалектном произношении, где «е» перешло в «я»). Так могли назвать непоседу, скорохода, гонца или того, кто вечно куда-то торопился.

Словообразовательная модель проста: основа глагола «бягай» (от «бягать» — бегать, суетиться) без каких-либо суффиксов стала фамилией. Это указывает на то, что фамилия застыла в своей первоначальной форме прозвища, а не прошла через типичные суффиксы -ов/-ев, -ин. Такие бессуффиксные фамилии чаще встречаются на юге России, в Украине и Беларуси, где были распространены однословные прозвищные фамилии. В официальных документах XIX века носителей фамилии Бягай можно было бы найти в Курской, Воронежской губерниях или на Слобожанщине — регионах, где «яканье» в говорах было нормой.

Версия о происхождении от тюркского корня (например, от «бяга» — что-то вроде «богатый» или «господин») маловероятна: во-первых, фамилия не имеет типичных тюркских суффиксов, во-вторых, её структура полностью совпадает с русскими императивными фамилиями. Прозвище Бягай могло закрепиться за человеком, который работал рассыльным, пастухом или просто был известен своей подвижностью. Фамилия не даёт информации о сословной принадлежности предков — её могли носить и крестьяне, и казаки, и мещане.

Сегодня фамилия Бягай встречается редко, и её носители разбросаны по разным регионам России и Украины. Уникальность фамилии в том, что она сохранила живую разговорную форму — словно предок до сих пор окликает своего потомка: «Эй, Бягай, не стой на месте!».