Фамилия Бигай — редкий случай, когда прозвище или имя перешло в фамилию практически без изменений, сохранив исходную форму. В ней нет типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский, которые обычно добавляли к основе, чтобы закрепить фамилию за родом. Это указывает на то, что фамилия могла сложиться либо в среде, где такие суффиксы не были обязательны (например, у тюркских народов), либо в поздней канцелярской записи, когда имя или прозвище записали как есть, без переделки.

Основа «Бигай» скорее всего тюркского происхождения. В тюркских языках есть личное имя Бигай, которое могло быть образовано от слов «би» (князь, господин) и «гай» (счастливый, удачливый) — то есть «счастливый господин» или «князь удачи». По другой версии, корень восходит к древнетюркскому «бек» или «бик» (сильный, твердый), и тогда Бигай означает «крепкий», «стойкий». В любом случае, это имя-пожелание, которое давали мальчикам, чтобы они выросли сильными и удачливыми.

Скорее всего, фамилия Бигай возникла у татар, башкир или других народов Поволжья и Приуралья, где такие имена были распространены. Попав в русскую среду, она не получила типичного русского окончания — это характерно для фамилий, записанных в метриках уже в XIX веке, когда чиновники не переиначивали тюркские имена на свой лад. Поэтому Бигай — это не «сын Бигая», а сам Бигай, то есть прозвище или имя, закрепленное за родом.

Встречается фамилия и в украинской среде, где тоже распространены фамилии без суффиксов, но там она скорее вторична — результат миграции. Сравните с однокоренными фамилиями Бикеев, Бикбаев, Бигашев: все они восходят к той же тюркской основе «бик/бек», но прошли через русскую модель с суффиксами. Бигай осталась без этой обработки, что делает её более архаичной формой.

Если ваши предки носили эту фамилию, скорее всего, они были из крестьян или мещан татарского происхождения, живших в смешанных регионах. Прямой ответ на вопрос «кем были»: не ремеслом и не сословием, а личным именем, которое перешло в фамилию. Фамилия не указывает на конкретную профессию или место, а просто говорит, что основатель рода носил имя или прозвище Бигай.