Фамилия Бегай — редкий случай, когда прозвище стало фамилией без добавления типичных русских суффиксов -ов, -ин или -ский. Такая «голая» форма характерна для украинской, белорусской и южнорусской традиции, где фамилии часто закреплялись в виде чистого глагола или существительного. В данном случае основа — повелительное наклонение глагола «бегать», то есть «бегай». Это так называемая «императивная» фамилия, каких немало в западнорусских землях: Держи, Смотри, Хвати.

Прозвище Бегай могли дать человеку по двум основным причинам. Первая — по характеру или поведению: непоседливый, быстрый, суетливый, тот, кто постоянно куда-то спешит. Вторая версия — профессиональная: так могли называть скорохода, гонца, посыльного, а в более широком смысле — человека, чья работа требовала постоянного движения (например, пастуха или конюха). В говорах слово «бегай» могло также относиться к тому, кто избегает работы, «бегает» от дела, но это значение менее вероятно для закрепления в фамилии — скорее уж закрепилось бы прозвище Ленивый.

Географически фамилия Бегай встречается в основном на Украине и в южных областях России — в бывших казачьих землях. Там императивные фамилии особенно распространены: Бегай, Дуй, Вернигора, Непийпиво. Сравните с однокоренной фамилией Бегаев — она образована по другой модели (с суффиксом -ев) и встречается шире, в том числе у русских дворян. Бегай же осталась в народной среде, без сословного «облагораживания».

Словообразовательный разбор прост: корень «бег-», суффикс «-а-» (глагольный), окончание «-й» (повелительное наклонение). Ударение, скорее всего, падает на второй слог: Бега́й, хотя в некоторых говорах возможно и Бе́гай. Фамилия не имеет отношения к тюркским языкам, несмотря на созвучие с тюркским «бег» (князь) — это ложный след, так как глагольная основа прозрачна и лежит на поверхности.