Фамилия Бегов — это не самая очевидная с точки зрения происхождения. На первый взгляд в ней слышится глагол «бегать», но всё сложнее. Скорее всего, в основе лежит не движение, а тюркское имя или прозвище.

Правдоподобнее всего версия, что фамилия образована от тюркского слова «бег» (bey) — господин, князь, правитель. В русской среде у тюркских народов (татар, башкир, ногайцев) слово «бег» или «бек» часто становилось частью имени: Бекбулат, Биктимир. Усечённая форма «Бег» могла быть самостоятельным прозвищем — в значении «начальник», «старшина». Суффикс -ов указывает на принадлежность: «сын Бега», то есть Бегов.

Менее вероятна, но возможна связь с глаголом «бегать». В этом случае Бегов — потомок человека, которого прозвали Бегун или Бегало за резвость или непоседливость. Однако в русской ономастике фамилии от глаголов движения обычно заканчиваются на -ун (Бегунов, Ходунов) или имеют более прозрачную основу (Беглов, Бегаев). Форма «Бегов» для «бегуна» нетипична: суффикс -ов редко крепится к глагольной основе без посредника.

Есть и третья версия, локальная. В некоторых говорах «бег» означало «побег», «уход» — прозвище могли дать беглому крестьянину или бродяге. Но это уже косвенное значение.

Географически фамилия Бегов встречается в основном в Поволжье, на Северном Кавказе и в Закавказье — то есть в зоне тюркского влияния. Это косвенно подтверждает «княжескую» версию.

В словаре Б. Унбегауна фамилия не упоминается, что говорит о её сравнительной редкости и преимущественно нерусском происхождении. Если ваши предки — из татарских или кавказских родов, то Бегов почти наверняка означает «сын бека», потомок уважаемого человека. Если же корни чисто русские — скорее всего, перед вами редкий случай прозвища от «бегать», но тогда фамилия должна была писаться иначе.