Фамилия Бегая — редкий случай, когда географическое происхождение прослеживается почти однозначно, а вот с корнем всё не так просто. Она явно восточного, точнее — тюркского или кавказского корня. В русском языке фамилия звучит непривычно: окончание -ая у мужской формы — нетипично для исконно русских фамилий (у нас мужские фамилии на -ая почти не встречаются, кроме единичных заимствований). Поэтому первое, что бросается в глаза: фамилия не прошла через стандартную модель с суффиксами -ов/-ев или -ин, а сохранила исходную форму основы.

Самая вероятная версия — фамилия восходит к грузинскому или мегрельскому корню. В Грузии распространены фамилии, оканчивающиеся на -ая, -ия, -уа. Бегая может быть русифицированной формой грузинской фамилии Бегаиа (ბეგაია). В таком случае основа — «бега» (ბეგა), что в грузинском языке может означать «князь» или «господин» (от тюркского «бек»). То есть предок носителя фамилии мог быть из знатного рода, мелкого дворянства или просто уважаемым человеком. В Грузии фамилии на -иа/-ая часто указывают на происхождение из определенной местности или рода.

Вторая, менее вероятная версия — от тюркского слова «бегай» или «бега» в значении «богатый», «сильный» (сравните с казахским «бек»). Но тогда фамилия должна была бы звучать как Бегаев или Бегай, а не Бегая. Форма на -ая скорее указывает на кавказский, а не степной тюркский ареал.

Встречаемость фамилии крайне низкая. В России она фиксируется в основном в Краснодарском крае и Адыгее, что косвенно подтверждает связь с черкесскими или абхазскими корнями. У адыгов есть фамилии, оканчивающиеся на -ая (например, Шхалахая), и Бегая может быть их вариантом. В таком случае значение корня стоит искать в адыгском языке, где «бегъэ» может означать «плечо» или «опора», но это уже область предположений.

Таким образом, если ваши предки — Бегая, скорее всего, они выходцы с Западного Кавказа (Грузия, Абхазия, Черкесия), а сама фамилия происходит от титула или прозвища, связанного со знатностью или силой. Точное значение без генеалогического исследования назвать трудно, но направление ясно: это не русская фамилия, а пришедшая с юга, сохранившая свою исконную форму.