Фамилия Бегич берет начало от тюркского имени или прозвища. В её основе лежит слово «бег» — то есть «чиновник», «господин», «князь». Однако сразу заметна необычная для русских фамилий форма, она не обрусела через суффиксы -ов или -ин, а сохранила тюркский корень почти без изменений. Такое случалось редко и обычно указывает на прямое заимствование имени, без переосмысления на славянской почве.

Самая яркая историческая отсылка к фамилии — золотоордынский мурза Бегич. В 1378 году именно он командовал войском, посланным Мамаем на Русь. Битва на реке Воже стала первой серьёзной победой русских над большим ордынским войском: Бегич рассчитывал на стремительный натиск, но русские полки, построенные полукругом, отбили атаку и контратаковали. Ордынцы бежали, бросив обоз. Это поражение подорвало авторитет Мамая и предвосхитило Куликовскую битву.

Имя Бегич, закреплённое за мурзой, не исчезло после той битвы. Уже в XVI веке оно встречается среди русских служилых людей. В грамотах 1608 года упоминается московский дьяк Михаиле Бегичев — здесь фамилия приобрела типичный русский суффикс -ев, но исходная форма Бегич продолжала бытовать параллельно.

Есть и другая версия происхождения. Тюркское слово «бегчи» означает «часовой», «сторож». Если прозвище возникло от него, то предок носителя фамилии мог быть стражем, караульным или нести службу на границе. Обе гипотезы не противоречат друг другу: в основе лежит тюркский корень, связанный со статусом или обязанностью, а сама фамилия закрепилась в русском именослове благодаря контактам с Ордой и последующей службе выходцев из неё у московских князей.