Фамилия Быковский — классический пример «географической» модели, самой распространённой у польской шляхты и позже — у русских дворян и духовенства. Суффикс -ский указывает на связь с местностью: её получил тот, кто владел землёй или жил в населённом пункте с названием Быково. Таких сёл и деревень в России, Беларуси и Польше десятки. Поэтому носитель фамилии Быковский — это, скорее всего, «тот, кто из Быкова». В отличие от фамилий на -ов (Быков), которые часто образовывались от прозвища или имени, форма на -ский выдаёт происхождение от топонима.

Основа фамилии — название населённого пункта Быково. Оно, в свою очередь, восходит к нецерковному имени или прозвищу Бык. В древнерусской традиции бык был символом силы, упрямства и плодовитости. Прозвище Бык давали крепкому, коренастому человеку или тому, кто отличался крутым нравом. Таким образом, цепочка получается такой: прозвище Бык → название деревни Быково → фамилия Быковский.

Интересна социальная окраска фамилии. В Российской империи фамилии на -ский (в отличие от -ов/-ин) часто носили дворяне, получившие поместье с названием, и духовенство, которому в семинариях давали «благозвучные» фамилии по названиям храмов или сёл. Однако Быковский встречается и у крестьян, и у мещан — особенно на западных территориях империи (современные Беларусь и Украина), где эта модель была всесословной. Поэтому точное сословие предка можно определить только по архивным документам.

В польском варианте фамилия часто писалась как Bykowski. После разделов Речи Посполитой многие носители попали в российские метрики, где написание могло варьироваться: Быковский, Быковски, Быковской. Ваша форма — Быковскии — встречается редко и, вероятно, является результатом орфографической ошибки в документах (путаница с окончанием -ий и -ии) либо архаичным написанием. В современном русском языке нормативным считается Быковский.