Фамилия Быреева — женская форма фамилии Быреев, и её разбор стоит начать с суффикса. Модель -еев типична для русских фамилий, образованных от основ на -ей или -ай: в данном случае исходное прозвище или имя звучало как Бырей. Суффикс -ев (вариант -ов после мягкого согласного) указывает на принадлежность: «сын Бырея» или «из рода Бырея». Форма Быреева, соответственно, означает «жена или дочь Быреева».

Корень быр- в русских говорах многозначен, и здесь возможны две основные версии. Первая и наиболее вероятная: диалектное слово «бырь» или «быря» — так в некоторых областях (особенно на севере и в Сибири) называли быстрого, проворного человека, непоседу. В словаре Владимира Даля «бырь» отмечено как «проворный, бойкий», а глагол «бырить» — «торопиться, суетиться». То есть Бырей — прозвище для живого, энергичного человека, которое затем закрепилось как фамильное.

Вторая версия связывает основу с тюркскими корнями, где «быр» может означать «один» или «единый». Однако для фамилии, распространённой в русской среде, такая этимология менее органична: тюркские заимствования в русских прозвищах обычно касаются конкретных предметов или качеств (например, «бирюк»), а не числительных. Прозвище «Один» в русской традиции встречается, но гораздо реже, чем характеристика характера.

Географически фамилия Быреев (и Быреева) фиксируется в основном в центральных и северных регионах России — в Вологодской, Костромской, Кировской областях. Это согласуется с диалектной версией: именно в северных говорах слово «бырь» было в ходу. Социальный состав носителей, судя по архивным данным XIX века, преимущественно крестьянский и мещанский: фамилия не относится к дворянским или купеческим родам, а возникла в среде простых людей, где прозвища давали по заметной черте поведения.

Таким образом, Быреева — фамилия, которая прямо говорит о характере предка: скорее всего, это был шустрый, торопливый человек, которого в деревне прозвали Бырей. Фамилия сохранила живую народную речь и диалектное слово, которое сейчас почти вышло из употребления.