Фамилия Чадкин — одна из тех, где связь с исходным словом почти стёрлась, а само слово ушло из языка. Основа здесь — прозвище Чадка, которое в древнерусских говорах могло означать человека тщедушного, хилого или постоянно кашляющего, задыхающегося. В словарях диалектов встречается глагол «чадить» в значении «дымить, коптить», но применительно к человеку он давал скорее образ суетливого или вспыльчивого — «чадный» значило «бешеный, шальной». Какая из версий точнее, сказать трудно: обе возможны, обе укладываются в логику народных прозвищ.

Модель образования простая и типичная для восточнославянских фамилий: суффикс -ин указывает на принадлежность. Чадкин — буквально «сын Чадки» или «человек из рода Чадки». Такая модель была распространена в северных и центральных русских землях, а также у части украинцев и белорусов. В отличие от фамилий на -ов/-ев, которые чаще встречались на юге и востоке, фамилии на -ин тяготеют к Новгородчине, Псковщине, Вологодчине, но не закреплены за одним регионом жёстко.

Интересно, что фамилия Чадкин не имеет отношения к слову «чадо» (дитя) — это случайное внешнее сходство. Корень здесь другой, и ударение в фамилии обычно падает на первый слог: Чадкин. Встречаются редкие варианты написания с двойным «д» (Чаддкин) — скорее всего, результат ошибки в документах XIX века, когда фамилию записывали на слух.

Однофамильцы у Чадкиных есть: Чадков, Чадский, Чадцев — все они образованы от того же прозвища, но с разными суффиксами. Но именно форма на -ин осталась самой распространённой, что косвенно подтверждает её древность: такие фамилии часто фиксировались в переписях раньше, чем более «книжные» варианты на -ский.