Фамилия Чагиров явно тюркского происхождения, и её разбор стоит начать не с корня, а с суффикса. Типичный для русских фамилий суффикс -ов указывает на то, что перед нами русифицированная форма тюркского имени или прозвища. Основа «Чагир» восходит к тюркскому слову «чагыр» (или «чагр»), которое в разных диалектах имело два основных значения. Первое — «сокол», «ястреб», то есть хищная птица. Второе, более прозаичное, — «светлый», «серый» или «белёсый», что могло относиться к масти лошади или цвету волос человека.

Наиболее вероятная версия — прозвище Чагыр давали либо человеку со светлыми, седыми волосами, либо тому, кто держал ловчих птиц или отличался зоркостью, как сокол. В русских говорах есть однокоренное слово «чагыра» — так называли крупного ястреба-тетеревятника. Это делает версию с птицей более конкретной, привязанной к охотничьему быту. В татарском и башкирском языках «чагыр» — это «серый» или «сизый», что снова отсылает к цвету.

Географически фамилия Чагиров чаще всего встречается в Поволжье и на Урале, особенно среди татар, башкир и чувашей, а также у русских, долгое время живших в соседстве с этими народами. Встречается и у казахов, но там фамилия обычно сохраняет форму Чагыров или Чагир. В дореволюционных метрических книгах Оренбургской и Уфимской губерний Чагировы записаны и как крестьяне, и как казаки.

Известных носителей с этой фамилией, вошедших в энциклопедии, нет, но в советских справочниках упоминается несколько инженеров и военных — фамилия не редкая, но и не на слуху. Если ваш предок носил её, он почти наверняка был выходцем из тюркоязычной среды, а сама фамилия закрепилась в документах в XVIII—XIX веках, когда крестьянам и инородцам массово присваивали фамилии по отцу или прозвищу.